Funkcja produkcji CES

Funkcja produkcji CES (ang. Constant elasticity of substitution) – funkcja produkcji o stałej elastyczności substytucji, którą pierwotnie zaproponował Robert Solow, a spopularyzował m.in. Kenneth Arrow jako uogólnienie właściwości funkcji produkcji Cobba-Douglasa.

Dla dwóch czynników – pracy i kapitału – funkcja przyjmuje postać:

$f(k,l)=\left(\alpha k^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}+\beta l^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}\right)^{\frac {\sigma }{\sigma -1}},$

gdzie:

$\alpha ,\ \beta ,\ \sigma$ są większe od 0,

$k$ – kapitał,

$l$ – praca,

$\sigma$ – elastyczność substytucji,

co jest równoznaczne z zapisem:

$f(x_{1},x_{2})=(\alpha {x_{1}}^{\rho }+\beta {x_{2}}^{\rho })^{\frac {\gamma }{\rho }},$

gdzie:

$\gamma$ – stopień jednorodności, zazwyczaj przyjmuje się $\gamma =1.$

Właściwości funkcji

Funkcja CES jest homogeniczna stopnia $\gamma .$ Dla $\rho \leqslant -1$ jest quasi-wypukła, dla $\rho \geqslant -1$ quasi-wklęsła. Dla $0<\gamma <1$ i $\rho >-1$ jest ściśle wklęsła.

Elastyczność funkcji CES

Cechuje ją stały wzdłuż izokwanty stosunek procentowej zmiany proporcji czynników produkcji do procentowej zmiany krańcowej stopy technicznej substytucji (MRTS).

$MRTS_{k,l}={\frac {\alpha k^{\frac {-1}{\sigma }}}{\beta l^{\frac {-1}{\sigma }}}},$

po przekształceniu:

${\frac {k}{l}}=\left({\frac {\alpha MRTS_{l,k}}{\beta }}\right)^{\sigma }.$

Po zlogarytmowaniu obu stron:

$\ln {\frac {k}{l}}=\sigma \left(\ln {\frac {\alpha }{\beta }}+\ln |MRTS_{l,k}|\right).$

Stąd elastyczność substytucji:

$ES={\frac {\ln {\frac {k}{l}}}{\ln |MRTS_{l,k}|}}=\sigma .$

Minimalizacja kosztów

Problem minimalizacji kosztów dla funkcji produkcji CES w postaci $f(x_{1},x_{2})=({x_{1}}^{\rho }+{x_{2}}^{\rho })^{\frac {1}{\rho }}$ można przedstawić jako:

$\min p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}$

przy warunku:

${x_{1}}^{\rho }+{x_{2}}^{\rho }=y^{\rho }.$

Wykorzystując metodę mnożników Lagrange’a, uzyskujemy warunki pierwszego rzędu:

$p_{1}-\lambda \rho {x_{1}}^{\rho -1}=0,$

$p_{2}-\lambda \rho {x_{2}}^{\rho -1}=0,$

${x_{1}}^{\rho }+{x_{2}}^{\rho }=y^{\rho }.$

Wyznaczamy ${x_{1}^{\rho }}\;{\text{i}}\;{x_{2}^{\rho }}$ (1)

$x_{1}^{\rho }=p_{1}^{\frac {\rho }{\rho -1}}{(\lambda \rho )}^{\frac {-\rho }{\rho -1}},$

$x_{2}^{\rho }=p_{2}^{\frac {\rho }{\rho -1}}{(\lambda \rho )}^{\frac {-\rho }{\rho -1}}$

i podstawiamy do funkcji produkcji, co daje

$(\lambda \rho )^{\frac {-\rho }{\rho -1}}\left[p_{1}^{\frac {\rho }{\rho -1}}+p_{2}^{\frac {\rho }{\rho -1}}\right]=y^{\rho }.$

Wyznaczamy $(\lambda \rho )^{\frac {-\rho }{\rho -1}}$ i podstawiamy do równań z (1):

$x_{1}(p_{1},p_{2},y)=p_{1}^{\frac {\rho }{\rho -1}}\left[p_{1}^{\frac {\rho }{\rho -1}}+p_{2}^{\frac {\rho }{\rho -1}}\right]^{\frac {-1}{\rho }}y,$

$x_{2}(p_{1},p_{2},y)=p_{2}^{\frac {\rho }{\rho -1}}\left[p_{1}^{\frac {\rho }{\rho -1}}+p_{2}^{\frac {\rho }{\rho -1}}\right]^{\frac {-1}{\rho }}y.$

Powstałe w ten sposób funkcje podstawiamy do funkcji kosztów i otrzymujemy

$c(p_{1},p_{2},y)=y\left[p_{1}^{\frac {\rho }{\rho -1}}+p_{2}^{\frac {\rho }{\rho -1}}\right]^{\frac {\rho -1}{\rho }}.$

W ogólnym przypadku, gdzie $f(x_{1},x_{2})={\big [}(\alpha x_{1})^{\rho }+(\beta x_{2})^{\rho }{\big ]}^{\frac {1}{\rho }},$ a za ${\frac {\rho }{\rho -1}}$ przyjmiemy $r,$ funkcja kosztów przyjmuje postać: $c(p_{1},p_{2},y)=y{\big [}(p_{1}/\alpha )^{r}+(p_{2}/\beta )^{r}{\big ]}^{\frac {1}{r}}.$

Szczególne przypadki funkcji CES

Funkcja Cobba-Douglasa

W granicy dla $\rho =0$ i $\sigma =1$ funkcja CES jest tożsama z funkcją Cobba-Douglasa:

Żeby to udowodnić, należy zlogarytmować funkcję CES

$\ln(Y)=\ln(A)+{\frac {1}{\rho }}\ln(\alpha K^{\rho }+(1-\alpha )L^{\rho })$

i obliczyć jej granicę, używając reguły de l’Hopitala

$\lim _{\rho \to 0}\ln(Y)=\ln(A)+\alpha \ln(K)+(1-\alpha )\ln(L),$

stąd $Y=AK^{\alpha }L^{1-\alpha }.$

Funkcja Leontiefa

Przy zerowej elastyczności substytucji, czyli $\sigma =0$ funkcja jest z definicji tożsama z funkcją produkcji Leontiefa

$Y=f(k,l)=\min\{\alpha k,\ \beta l\}.$

Funkcja liniowa

Przy nieskończonej elastyczności, czyli $\sigma =\infty$ funkcja CES jest liniowa:

$Y=f(k,l)=\alpha k+\beta l.$

Zobacz też

• krańcowa stopa substytucji
• korzyści skali

Bibliografia

• R.W. Shephard, Theory of cost and production functions, Princeton University Press, Princeton, 1978.
• P.H. Douglas, Are there laws of production?, „American Economic Review”, 1948.
• M. Fuss, D. McFadden, Production economics: a dual approach to theory and application, North-Holland, Amsterdam, 1980.
• Hal R. Varian, Microeconomic analysis, 3rd ed, New York: Norton, 1992.

Linki zewnętrzne

• Anatomy of CES Production/Utility Functions in Three Dimensions
• Closed Form Solutions in Economics